13.01.2023
179
0

План урока по теме «Основное тригонометрическое тождество»

Александр Кудрявцев

Преподаватель математики, методист обучения учителей, спикер вебинаров для детей

Тема «Основное тригонометрическое тождество» вызывает у школьников недоумение и страх. 9 из 10 моих учеников во время подготовки к ОГЭ говорили о том, что тема трудная. Этот план урока поможет преподавателям математики зайти в сложную тему с уже известных и сделать синусы и косинусы следствием из знаний по темам «Теорема Пифагора» и «Подобие треугольников». В статье — 13 заданий для практики во время занятия и д/з.

План урока подойдет для тех ребят, с которыми у вас есть возможность полностью погрузиться в тему. Если вы ограничены во времени, пропускайте доказательства и делайте упор на решении задач.

Содержание:

Цели урока

  1. связать стороны и углы в прямоугольном треугольнике;
  2. изучить понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса;
  3. научиться применять их на практике;
  4. отработать навыки доказательств и вывода формул.
Я вижу причину сложностей учеников в том, что тема «Основное тригонометрическое тождество» подается вне контекста: «Дети, сегодня будем изучать синусы и косинусы. Начнем с определения…»

Любая тема в математике не берется из воздуха — всегда есть предпосылки и смежные темы, благодаря которым новая информация понимается легко. Так, для изучения дробей важно понимать процесс деления и столкнуться с ситуацией, когда нужно поделить, на первый взгляд, неделимое (например, одну шоколадку на четырех друзей). С помощью проблемной ситуации значительно проще и легче изучать дроби.

Разминка

Вспомните со школьником основные Пифагоровы тройки.

  1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 и 4. Чему равна гипотенуза?
  2. В прямоугольном треугольнике катет равен 5, а гипотенуза — 13. Найдите второй катет.
  3. В прямоугольном треугольнике катет равен 40, а гипотенуза — 41. Найдите второй катет.

В задании 2 и 3 используйте формулу разности квадратов, чтобы без сложных вычислений найти неизвестные элементы треугольников.

Готовите к ЕГЭ и ОГЭ по математике? Приходите за повышенным доходом в Skyeng! Регулярные выплаты, гибкое расписание, своя платформа для занятий. Подробнее по ссылке →

Подводка к теме

Перед изучением новой темы «Основное тригонометрическое тождество» актуализируйте знания по теме-предшественнику. Чтобы ввести тригонометрические функции, вспомните с учеником подобие треугольников.

Этапы подготовки:

Шаг 1. Рассмотрите пример двух подобных прямоугольных треугольников.

Шаг 2. Вспомните соотношения между сторонами.

План урока по теме «Основное тригонометрическое тождество»

Шаг 3. Докажите, что для подобных треугольников отношения соответствующих сторон равны.

План урока по теме «Основное тригонометрическое тождество»

Шаг 4. Обсудите с ребенком следующее: если изменить величину острого угла в прямоугольном треугольнике, изменятся длины сторон и соотношения между ними.

Определения

Соотношения из пункта выше требуют новых обозначений. Здесь на сцену и выходят синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы, которые встают на место вопросов.

План урока по теме «Основное тригонометрическое тождество»

Упражнение. Для того же треугольника записать синус, косинус, тангенс и котангенс угла А.

Образовательная платформа компании Skyeng помогает учителям преподавать в свое удовольствие: готовые интерактивные упражнения и карточки с теорией, возможность использовать свои наработки, автоматическая проверка домашних заданий.

Больше подробностей о преподавании математики у нас в статьях:
Какие направления по математике есть в Skysmart?
Сколько платят в Skyeng преподавателю математики?
Как стать преподавателем математики в Skyeng?

Практическая часть

Задание 1. Найти тригонометрические функции острых углов в треугольниках со сторонами 3, 4, 5 и 6, 8, 10. 

Выводы из задания 1

  1. Треугольники подобны. Значения тригонометрических функций совпадут.
  2. Синус одного острого угла будет равен косинусу другого.

Задание 2. Найти пары равных функций.

План урока по теме «Основное тригонометрическое тождество»

Задание 3. Найти тригонометрические функции острых углов в треугольнике со сторонами 5, 12, 13.

С учетом предыдущего результата ученик быстрее решит задание.

Первое доказательство

Задание 4.

План урока по теме «Основное тригонометрическое тождество»
Используйте определения, чтобы доказать формулы.

Практическая часть

Задание 5. Найти синус, косинус, тангенс большего острого угла прямоугольного треугольника с катетами 7 см и 24 см.

Нужно вспомнить теорему Пифагора для поиска третьей стороны.

Основное тригонометрическое тождество

Школьник уже вспомнил, что длины сторон прямоугольного треугольника связаны теоремой Пифагора. Следовательно, тригонометрические функции тоже взаимосвязаны.

Основное тригонометрическое тождество: sin2α + cos2α = 1

Задание 6. Доказать тождества, используя определения тригонометрических функций и теорему Пифагора.

Задание 7. Найти значения выражений.

sin2 40° + cos2 40° = …
cos2 89° + sin2 89° = …

Разберите вместе с учащимся следующий пример: в прямоугольном треугольнике АВC с острым углом А известно, что sin угла А = 0,8. Необходимо найти cos угла А.

Решение.

sin2 угла А + cos2 угла А = 1
cos2 угла А = 1 − sin2 угла А = 1 − 0,64 = …
cos2 угла А = …

Задание 8. В прямоугольном треугольнике АВC угол С равен 90°, cos угла А равен 0,96. Нужно найти sin угла А.

План урока по теме «Основное тригонометрическое тождество»

Задание 9. Найти котангенс острого угла прямоугольного треугольника, если косинус этого угла равен 3√10

Задание 10. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, а косинус одного из острых углов равен 0,8. Нужно найти катеты этого треугольника. Ответ записать в порядке возрастания через точку с запятой.

Вам могут быть полезны и другие наши статьи по математике:

Вывод новых формул

Задание 11. Зная основное тригонометрическое тождество, совместно с учеником докажите следующую формулу.

План урока по теме «Основное тригонометрическое тождество»

Обсудите с учащимся, зачем эта формула нужна.

Ответ: по известному тангенсу или котангенсу можно найти значение остальных тригонометрических функций.

Задание 12. Найти синус, косинус и котангенс острого угла прямоугольного треугольника, если тангенс этого угла равен 7. В ответе соотнести значения.

Задание 13.

План урока по теме «Основное тригонометрическое тождество»

Итоги урока

Во время подведения итогов вспомните цели урока и обсудите с учеником, какие из них удалось достичь.

Примеры итогов, которые может озвучить школьник:

  • научился связывать углы и стороны в прямоугольном треугольнике;
  • изучил синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы;
  • сформулировал тригонометрические тождества;
  • решил n задач;
  • доказали n формул;
  • закрепил знания по теореме Пифагора и подобным треугольникам.
О преимуществах и сложностях онлайн-преподавания вы можете узнать, прочитав интервью Марины Матусовой Из школы — в онлайн: учитель математики с 30-летним стажем о переменах в жизни

Домашнее задание

Задание 1. Найти тригонометрические функции острых углов в треугольнике со сторонами 9, 40, 41. 

Задание 2. 

План урока по теме «Основное тригонометрическое тождество»

Задание 3.

Найти АВ, если известно, что в прямоугольном треугольнике АВС угол В = 90°, АС = 28, sin угла С равен 47

Задание 4.

План урока по теме «Основное тригонометрическое тождество»

Задание 5. В прямоугольном треугольнике острые углы А и В. Известно, что sin угла А равен 513

Нужно найти остальные значения.

Надеюсь, что план урока по теме «Основное тригонометрическое тождество» поможет сэкономить преподавателям время и силы, а ученикам преодолеть еще один барьер к успешной сдаче ОГЭ. Какие еще темы тяжело даются вашим ученикам, напишите в комментариях!

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

×