Разбор 2 задания из ЕГЭ по информатике
Логические выражения несколько отличаются от обычных математических. Например, Выражение 1 + 1 = 1 не имеет никакого смысла с точки зрения математики, но абсолютно верно с точки зрения логики. Логика оперирует понятиями Истина и Ложь, или True и False, или 1 и 0. Поэтому логическая сумма двух истинных высказываний также является истинной.
Цель урока: научиться строить таблицы истинности и логические схемы сложных логических выражений и решать задание №2 из ЕГЭ по информатике 2023.
Проверьте, насколько ваши ученики защищены от интернет-угроз
Олимпиада при поддержке
Минцифры России
Задачи урока:
- повторить определение логических операций;
- повторить таблицы истинности простых логических выражений,
- вспомнить порядок выполнения логических операций,
- записать законы алгебры логики,
- научиться упрощать сложные логические выражения,
- изучить понятия нормальной дизъюнктивной и нормальной конъюнктивной формы.
Содержание:
- Повторяем определение логических операций
- Вспоминаем порядок выполнения логических операций
- Учимся упрощать сложные логические выражения
- Практикуемся выполнять задание №2 ЕГЭ
Повторяем определение логических операций
В алгебре логики изучаются логические операции, производимые над высказываниями. Такие высказывания могут быть истинными или ложными. Применяя к простым высказываниям логические операции, можно строить составные высказывания.
Повторим основные логические операции (буквами A, B или C будем обозначать элементарные логические высказывания):
Отрицание (инверсия, логическое НЕ) — это логическая операция, которая делает ложное высказывание истинным, а истинное — ложным.
Обозначение: ¬A, или not(A), или НЕ(A), или 
| A | |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Логическое сложение (дизъюнкция, логическое ИЛИ) — это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно, и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения ложны.
Обозначение: A ∨ B, или A or B, или A ИЛИ B, или A + B
| A | B | A+B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Логическое умножение (конъюнкция, логическое И) — это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложное выражение ложно.
Обозначение: A ∧ B, или A and B, или A И B, или A * B
| A | B | A * B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Логическое следование (импликация) — это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме того случая, когда из истины следует ложь. То есть данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое (А) является условием, а второе (В) является следствием.
Обозначение: A → B
| A | B | A → B |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Логическая эквивалентность (равносильность) — это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.
Обозначение: A ≡ B
| A | B | A ≡ B |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Логическая операция XOR (сложение по модулю 2 или исключающее ИЛИ) — это логическая операция, по своему применению максимально приближенная к грамматической конструкции «либо … либо …».
Обозначение: A ⊕ B
| A | B | A ⊕ B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Вспоминаем порядок выполнения логических операций
Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении:
- Инверсия
- Конъюнкция
- Дизъюнкция
- Импликация
- Эквивалентность
Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются скобки.
Законы алгебры логики — это некоторые стандартные преобразования логических выражений, при которых сохраняется равносильность.
1. Законы поглощения констант
A + 0 = A
A * 1 = A
2. Законы поглощения переменных
A + 1 = 1
A * 0 = 0
3. Законы идемпотентности
A * A = A
A + A = A
4. Закон двойного отрицания
= А
5. Закон противоречия
A * = 0
6. Закон исключенного третьего
A + = 1
7. Законы коммутативности
A * B = B * A
A + B = B + A
8. Законы ассоциативности
(A * B) * C = A * (B * C)
(A + B) + C = A + (B + C)
9. Законы дистрибутивности
A * (B + C) = (A * B) + (A * C)
A + (B * C) = (A + B) * (A + C) — обратите особое внимание!
10. Законы де Моргана
Правило для запоминания: «Крыша упала, знак поменяла (+ на *, * на +)».
11. Законы поглощения
A + (A * B) = A
A * (A + B) = A
12. Закон преобразования импликации
A → B = + B — импликация из A в B равна «не A плюс B»
Учимся упрощать сложные логические выражения
После этого можно тренироваться в упрощении логических выражений.
Логическое выражение будем обозначать буквой F. В качестве упрощения логического выражения удобно заменить логические символы конъюнкции и дизъюнкции на * и +, а затем можно избавиться и от импликации (при использовании программного метода импликацию в логическом выражении заменяют на выражение <=).
Практикуемся выполнять задание №2 ЕГЭ
Теперь можно переходить к изучению тонкостей и особенностей решения задания №2 по информатике.
Строим таблицы истинности и логические схемы
Таблица истинности выражения определяет его значения при всех возможных комбинациях исходных данных. Если известна только часть таблицы истинности, соответствующее логическое выражение однозначно определить нельзя, поскольку частичной таблице могут соответствовать несколько разных логических выражений (не совпадающих для других вариантов входных данных).
Количество разных логических функций, удовлетворяющих неполной таблице истинности, равно 
, где k — число отсутствующих строк.
Очень хорошей помощью в решении этого задания будет полная таблица истинности данного в условии логического выражения.
После получения полной таблицы истинности остается провести анализ на соответствие строк данной в условии части таблицы строкам составленной. При анализе строк особое внимание следует обратить на значение выражения в таблице истинности.
Если выражение равно 0, то нужно постараться привести данное в условие выражение к виду A + B + C + … . Логическая сумма A + B + C + … равна 0 (выражение ложно) тогда и только тогда, когда все слагаемые одновременно равны нулю, а в остальных случаях равна 1 (выражение истинно).
Если выражение равно 1, то приводите выражение к виду A · B · C · … . Логическое произведение A · B · C · … равно 1 (выражение истинно) тогда и только тогда, когда все сомножители одновременно равны единице, а в остальных случаях равно 0 (выражение ложно).
И еще два факта, которые пригодятся при анализе: логическое следование (импликация) А → В равно 0 тогда и только тогда, когда A (посылка) истинна, а B (следствие) ложно; эквивалентность А º B равна 1 тогда и только тогда, когда оба значения одновременно равны 0 или одновременно равны 1.
Используем 3 способа решения задания
Способы решения задания:
- ручной;
- с помощью электронных таблиц;
- с помощью языка программирования (Python).
При ручном способе решения особенно важно сначала упростить выражение, данное в условии задачи, то есть привести логическое выражение к такому виду, который будет удобнее анализировать.
Если же в таблице истинности логическое выражение равно 0 — приводим выражение к нормальной конъюнктивной форме (КНФ — сумма нескольких литералов). В этом случае выражение будет ложным, только если каждый литерал (слагаемое) ложен.
После преобразования логического выражения производится анализ данной в условии таблицы истинности (или ее фрагмента) и для каждого столбца находится его значение (x, y и т. д.)
При использовании электронных таблиц самым сложным является ввод в ячейку таблицы выражения, данного в условии в нотации, соответствующей программе. Чаще всего в качестве программ электронных таблиц используются электронные таблицы пакетов Libre Office, Open Office или Microsoft Office (Excel). Последняя — наиболее распространенная, поэтому здесь будем говорить про нее.
Шаг 1. Сначала количество столбцов в электронной таблице равно количеству переменных логического выражения. Каждый столбец обозначается по именам переменных логического выражения.
Шаг 2. Затем добавляется количество строк электронной таблицы, равное , где k — количество переменных логического уравнения.
Шаг 3. После этого создается еще один столбец электронной таблицы, в первой строке которого (не заголовка) записывается формула, соответствующая логическому выражению. Растянув эту формулу при помощи маркера автозаполнения на все строки таблицы, получаем полную таблицу истинности выражения.
Таблица функций электронной таблицы Excel и их соответствия логическим операциям:
| Логическая операция | Строка Excel |
| Инверсия | =ЕСЛИ(A2=1;0;1) |
| Дизъюнкция | =ЕСЛИ(ИЛИ(A2=1;B2=1);1;0) |
| Конъюнкция | =ЕСЛИ(И(A2=1;B2=1);1;0) |
| Импликация | =ЕСЛИ(И(A2=1;B2=0);0;1) |
| Эквивалентность | =ЕСЛИ(A2=B2;1;0) |
При использовании программы на языке Python можно описать функцию, например так:
def f(arg):
x, y, z, w = arg
return (здесь записывается логическое выражение),
а затем, используя полный переборный алгоритм, перебрать значения 0 и 1 для каждой переменной во вложенных циклах и провести проверку истинности выражения:
print (‘x y w z’) # заголовок таблицы (в алфавитном порядке)
k = 0, 1 # k — кортеж констант (0 — False, 1 — True)
for x in k:
for y in k:
for w in k:
for z in k:
if f(x, y, w, z) == 1:
print(x, y, w, z) # если F = 1
Или просто вывести таблицу истинности print(x, y, w, z), не используя условный оператор во внутреннем цикле.
Полученную таблицу истинности остается проанализировать вручную и записать единственно верный ответ.
Для того чтобы записать логическое выражение на Python, воспользуйтесь следующей таблицей:
| Обозначение | Название | Оператор в Python |
| ∧ | конъюнкция | and |
В Python логическое значение True воспринимается как 1, а False — как 0, благодаря этому можно использовать обычное умножение *
| ∨ | дизъюнкция | or |
В Python логическое значение True воспринимается как 1, а False — как 0, благодаря этому можно использовать обычное сложение +
| ¬ | отрицание | not() |
| ≡ | тождество | == |
| ⊕ | строгая дизъюнкция | != |
| → | импликация | not(a) or b или not a or b или a <= b |
Желаем вашим ученикам высоких баллов по ЕГЭ!
Илья Калинин 
Илья Сагалов 
Владислав Колесников 
Роман Мельников 