Числа и цифры: план урока по математике

Понятие числа возникло из-за практической необходимости подсчета предметов. Сначала предметы считали при помощи подручных средств: пальцев, камней, еловых шишек и т. д. На ранних стадиях развития человечества запас чисел был весьма ограничен. Ряд известных и используемых натуральных чисел был конечен и удлинялся не очень быстро. Осознание же неограниченной продолжительности натурального ряда чисел стало уже признаком достаточно высокого уровня знаний и культуры.

Вместе с использованием увеличивающихся чисел развивались и сами символы, которыми обозначались числа, а сами числа образовывали системы. 

Развитие человечества постепенно приводило и к совершенствованию систем счисления. Употребляемая сейчас позиционная десятичная система счисления является итогом длительного исторического развития.

• Вопрос 1: кто придумал 0?
• Вопрос 2: единица — это простое число или составное?
• Вопрос 3: сколько множеств чисел проходят в школе?
• Вопрос 4: где находится основание и что такое показатель?
• Вопрос 5: может ли когда-нибудь случиться так, что иррациональное число станет рациональным или наоборот?
• Вопрос на миллион (дополнительно для продвинутых): как называются числа, которые можно нарисовать в виде вектора? 

План урока:

1. Действительные числа
2. Модуль и свойства модуля
3. Дроби
4. Множества
5. Интервалы
6. Степени
7. Рациональные степени

1. Действительные числа

• Положительные числа — числа, которые больше нуля.
• Отрицательные числа — числа, которые меньше нуля.
• 0 (ноль) — число, находящееся между положительными и отрицательными числами (это число придумал индийский математик Брахмагупта).
• Натуральные числа — числа, появившиеся при счете: 1, 2, 3, 4 и т. д.
• Целые числа — числа, которые состоят из натуральных чисел, нуля и чисел, противоположных натуральным: …, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
• Простые числа — числа, которые имеют ровно два делителя, то есть 1 и само число.
• Составные числа — числа, которые имеют более двух делителей, то есть, помимо деления на 1 и на само число, составное число также можно разделить как минимум на одно положительное целое число. 
• 1 не является простым или составным числом.
• Рациональные числа — числа, которые могут быть представлены в виде дроби p/_q, где числа p и q целые, отличные от нуля.

Кроме этого, дробь p/_q может быть также представлена: 

— либо как конечное десятичное число: 7/₄=1,75;

— либо как повторяющееся десятичное число: 7/₃=2,333333333…

• Иррациональные числа — числа, которые невозможно представить в виде рациональной дроби p/_q.

Иррациональное число не может быть представлено в виде дроби p/q с целыми p и q.

Типичные примеры иррациональных чисел:

π=3,14592652589793…

e=2,718281828459045…

√3=1,73205080756887…

Иррациональные числа не могут быть рациональными и наоборот!

Есть еще одна очень важная классификация чисел:

• Четные числа — числа, которые при делении на 2 дают в остатке 0.
• Нечетные числа — числа, которые при делении на 2 не дают в остатке 0.

Примеры:

1. Каким числом является число 5? (За полный ответ полагается соответствующая оценка.)

Ответ: положительное, натуральное, целое, рациональное, действительное.

2. Каким числом является число −4,2?

Ответ: отрицательное, рациональное, действительное.

3. Каким числом является число 666/13?

Ответ: положительное, иррациональное, действительное.

Существует однозначное соответствие между набором действительных чисел и точками на прямой с действительными числами: каждая точка на этой прямой соответствует действительному числу и наоборот. Все положительные действительные числа представлены точками, лежащими справа от числа ноль, а все отрицательные действительные числа представлены точками слева от числа ноль. Все положительные числа расположены в порядке возрастания слева направо — справа от нуля; все отрицательные целые числа расположены в порядке убывания справа налево — слева от нуля.

Большинство алгебраических манипуляций основано на свойствах действительных чисел. Все действительные числа обладают следующими свойствами:

• Свойство симметричности: «Равенство a=b подразумевает равенство b=a».

Пример: равенство x+y=z подразумевает равенство z=x+y. 

• Свойство транзитивности (переходное свойство): «Два числа равны друг другу, если каждое из них равно одному и тому же числу».

Другими словами: «Уравнения a=b и c=b подразумевают, что a=c».

Пример: уравнения x+y=z и z=b+c подразумевают, что x+y=b+c.

• Свойство замены: «Любое число может быть заменено на равное ему в любом выражении».

Если a=b, то a может быть заменено на b в любом математическом выражении.

Пример: если x=a и x+b=c, то a+b=c.

• Свойство сложения и вычитания: «Если к равным числам прибавляются равные числа, то суммы равны. Если из равных чисел вычесть равные числа, то разности равны».

Пример: если a=b и c=d, то a ± c=b ± d.

• Свойство умножения: «Если равные числа умножаются на равные числа, то произведения равны».

Пример: если a=b и c=d, то ac=bd.

Числа в произведениях называются сомножителями.

• Коммутативные законы сложения и умножения: «Числа могут складываться в любом порядке: a+b=b+a. Числа могут умножаться в любом порядке: ab=ba».
• Ассоциативные законы сложения и умножения: «Слагаемые могут сочетаться в любые группы: a+(b+c)=(a+b)+c. Сомножители могут сочетаться в любые группы: a(bc)=(ab)c».
• Дистрибутивный закон: «Скобки можно раскрыть; общий множитель можно вынести за скобки».

a(b ± c)=ab ± ac

(a ± b)c=ac ± bc

• Аксиома тождества для суммы: «Сумма любого действительного числа и числа 0 есть само это число: a+0=a».
• Аксиома тождества для произведения: «Произведение любого действительного числа и числа 1 есть само это число: a×1=a».
• Аксиома инверсии для сложения: «Для любого действительного числа a существует уникальное число (-a), такое, что a+(-a)= -a+a=0. Число (-a) называется противоположным числу a».

Можно сказать, что вычитание — это действие, обратное сложению, а сложение — это действие, обратное вычитанию.

Сложение и вычитание являются операциями, обратными друг другу.

• Аксиома инверсии для произведения: «Для любого ненулевого числа a существует уникальное действительное число (1/_a), такое, что a×(1/_a)=(1/_a)×a=1. Число (1/_a) называется обратным числу a».

Умножение и деление являются операциями, обратными друг другу.

• Для любых действительных чисел a и b истинным может быть только одно соотношение: a>b, a=b, a<b .

2. Модуль и свойства модуля

Определение. Модуль действительного числа a записывается так: |a|. А определяется так: |a|={a, если a ≥ 0; -a, если a<0}.

Примеры: |5|=5; |-5|=5; |0|=0.

Полезное наблюдение: для любых чисел a и b расстояние между a и b на числовой прямой есть модуль разности этих чисел |a-b|=|b-a|.

Пример: |-5|=5, так как число -5 располагается на числовой прямой на таком же расстоянии от числа 0, что и число 5.

Свойства:

1. |a| ≥ 0.
2. |a|=0 тогда и только тогда, когда a=0.
3. |a×b|=|a|×|b|.
4. |a/_b|=|a|/_|b|, если b ≠ 0.
5. |−a|=a.
6. |a−b|=|b-a|.
7. |a|²=a².

3. Дроби

Дробью называется число, записанное в виде a\_b, где a называется делимым, а b — делителем. Оба числа, делимое и делитель, являются действительными числами, но делитель не должен быть равен нулю.

Дроби имеют следующие свойства:

• Дроби сохраняют свое значение, когда делимое и делитель одновременно умножаются или сокращаются на одно и то же ненулевое число: ac/_bc=a/_b.

Примеры:

1. 45/₆₀=5×3×3/_5×3×2×2=3/4.
2. x²-5x+6/_x−3=(x−2)(x−3)/(_x−3)=(x−2).

• Чтобы складывать (или вычитать) дроби с одинаковыми знаменателями, объединяйте числители и оставляйте тот же знаменатель: a/_b+c/_b=a+c/_b или a/_b-c/_b=a−c/ _b.

• Чтобы сложить (или вычесть) дроби с разными знаменателями, приведите дроби к общему знаменателю, найдя общий множитель обоих знаменателей, а затем сложите (или вычтите) получившиеся дроби с одинаковыми знаменателями: a/b±c/d=ad/bd±bc/bd=ad±bc/_bd.

Примеры:

1. 5/₇-3/₁₃=5 × 13/_{7 × 13}-3 × 7/_{13 × 7}=65 − 21/₉₁=44/₉₁.
2. 1/_ab+1/_bc=c/_abc+a/_abc=a + c/_abc.

• Числитель произведения дробей равен произведению числителей, а знаменатель равен произведению знаменателей всех дробей: a/_b×c/_d=ac/_bd.

Чтобы разделить две дроби, переверните вторую дробь и выполните умножение двух дробей:

Пример:

• Пропорции могут быть решены путем перекрестного умножения с использованием свойства перекрестного умножения: «Из a/_b=c/_d также следует, что d/_b=c/_a или a/_c=b/_d».

Пример: если x/_y=z/_w, то x/_y=2x — 7z/_{2y — 7w}=3x + 15z/_{3y + 15w}.

4. Множества

Множество — это конечный набор объектов. Объекты называются элементами или членами множества. В качестве имен множеств используют заглавные буквы.

Если множество A определяется списком своих элементов, то его можно записать в следующем формате:

A={список элементов}

• Если элемент x является элементом множества A, то это записывается как x ∈ A. 
• Если элемент x НЕ является элементом множества A, то это записывается как x ∉ A.

Множество A можно также определить, описывая его элементы через характеризующие их свойства: «Множество A всех элементов x, таких, что x обладает свойством P». В этом случае символ | используется вместо утверждения «такой, что», а множество записывается в следующем формате:

A={ x | P}

Самые важные множества:

• Множество натуральных чисел: N={1, 2, 3, 4, 5,…. }
• Множество целых чисел: I={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. }…,
• Множество рациональных чисел: Q={p/q | q ≠ 0; p,q ∈ I}.
• Множество иррациональных чисел: H.
• Множество действительных чисел. R

Сравнение множеств:

• Множество A равно множеству B, если каждый элемент A является элементом B, и наоборот: A=B.

Пример: {b, a, c}={c, a, b}.

• Множество A называется собственным подмножеством множества B, если каждый элемент множества A является элементом B, но A ≠ B: A ⊂ B.

Примеры: 

1. Множество натуральных чисел является собственным подмножеством множества действительных чисел: N⊂R.
2. Множество {a, b, c} является собственным подмножеством множества {a, b, c, d}: {a, b, c }⊂{a, b, c, d}.

• Множество A называется подмножеством множества B, если A является правильным подмножеством B либо A=B: A ⊆ B.

Пример: {a, b, c }⊆{ a, b, c}.

• Пересечение множеств A и B — это множество всех элементов, которые находятся как в A, так и в B: A ∩ B.

Пример: если A={a, b, c } и B={a, c, d, e, f }, тогда A ∩ B={a, c }.

• Объединение множеств A и B — это множество всех элементов, которые находятся либо в A, либо в B, либо в обоих: A ∪ B.

Пример: R=HQ.

5. Интервалы

Интервалы — это специальные подмножества действительных чисел.

Интервал может быть конечным или бесконечным. Конечный интервал действительных чисел лежит между двумя действительными точками, a и b. Бесконечный интервал имеет только одну конечную точку и содержит все остальные действительные числа, лежащие в направлении положительной или отрицательной бесконечности от этой точки.

• Если набор действительных чисел лежит между a и b, но не включает ни одно из них, интервал является открытым.
• Если обе конечные точки, a и b, включены в набор, интервал называется замкнутым.
• Полуоткрытый интервал содержит либо a, либо b.
• Бесконечный интервал не ограничен ни вправо, ни влево, и символ бесконечности всегда заключен в круглую скобку, как у открытого интервала. В то же время бесконечный интервал может быть открытым или закрытым в конечной точке.

Таким образом, мы имеем следующие случаи:

1. интервал полубесконечный слева: (-∞; b]
2. интервал полубесконечный справа: [a; +∞)
3. бесконечный интервал : (-∞;+∞)
4. конечный интервал: [a; b]

6. Степени

В выражении x^a величина x называется основанием, а величина a — показателем степени.

Следующие математические правила полезны при алгебраических операциях со степенями:

• Любое ненулевое действительное число, возведенное в нулевую степень, равно единице: x⁰=1(x ≠ 0).
• Ненулевое действительное число, возведенное в степень (-a), является обратной величиной того же действительного числа, возведенного в степень a: x^-a=1/_x^a (x ≠ 0).

Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, сложите их показатели: x^a × x^b=x^{a + b}.

• Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, вычтите из показателя степени  числителя показатель степени знаменателя: x^a/_x^b=x^{a − b} (x ≠ 0).
• Чтобы возвести в степень выражение, которое стоит в другой степени, перемножьте показатели степени: (x^a)^b=x^ab.
• Произведение двух величин, возведенное в степень, равно произведению каждой из этих величин, возведенных в степень: (xy)^a=x^ay^a.

Дробь, возведенная в степень, равна дроби, в числителе и знаменателе которой находятся возведенные в ту же степень числитель и знаменатель исходной дроби: (x/_y)^a=x^a/_y^a (y ≠ 0).

7. Рациональные степени

Примечание: у всех корней n-ной степени индекс n является натуральным числом, бóльшим единицы: n ∈ N, n>1.

Говорят, что число y является корнем n-ной степени действительного числа x, если yⁿ=x.

Корень n-ной степени числа x обозначается как ⁿ√x или x^1/n.

Таким образом, связь между степенью и корнем записывается так: ⁿ√x=x^1/n.

Наиболее важные правила для степеней рациональных чисел:

• x⁰=1.
• x^-a=1/^_xa, x ≠ 0.
• x^a × x^b=x^{a + b}.
• x^a/_x^b=x^{a — b}, x ≠ 0.
• (x^a)^b=x^ab.
• (xy)^a=x^ay^a.
• (x/_y)a=x^a/_y^a, y ≠ 0.
• ⁿ√x=x^1/n.
• √x²=|x|.
• ⁿ√x^m=x^m/n.
• n√xy=ⁿ√x × ⁿ√y.
• ⁿ√x/y=ⁿ√x/_ⁿ√y, y ≠ 0.