9 лайфхаков второй части ЕГЭ 2024 по математике

В 2024 году вторая часть профильного экзамена по математике состоит из семи заданий. В этой статье вы найдете советы по каждому из них, чтобы ваши ученики набрали максимум баллов.

Содержание:

• 13 задание. Уравнение с отбором корней
• 14 задание. Стереометрическая задача повышенного уровня сложности
• 15 задание. Неравенство или система неравенств
• 16 задание. Задачи прикладного характера
• 17 задание. Планиметрическая задача
• 18 задание. Уравнение или система уравнений с параметром
• 19 задание. Олимпиадная задача на теорию чисел

13 задание. Уравнение с отбором корней

Оценивается двумя первичными баллами. Как правило, это тригонометрическое уравнение. Реже можно встретить логарифмические, показательные, рациональные и иррациональные уравнения.

В 13 задании частой ошибкой является то, что участники ЕГЭ  не учитывают ограничения. Например, при решении тригонометрического уравнения часто используется введение новой переменной. И если в качестве переменной брать синус или косинус какого-либо аргумента, то важно помнить, что корни не должны по модулю превышать единицу.

Лайфхак 1

Не пропусти ограничения! В уравнении могут встретиться ограничения, если есть переменная под корнем четной степени, модуль, логарифм, тангенс, котангенс или переменная в знаменателе. 

При отборе корней с помощью тригонометрической окружности отмечаем концы числового отрезка, выделяем дугу, обозначаем корни на окружности.

При отборе корней с помощью перебора значений переменной серии корней записываем с разными переменными. Начинаем и заканчиваем перебор корнями, которые не входят в промежуток. Иначе выбор будет не обоснован.

Лайфхак 2

Если в тригонометрическом уравнении корни являются табличными значениями, то проще воспользоваться тригонометрической окружностью. Если корни сложно представить на окружности или интервал имеет длину больше 2, то легче подобрать значения с помощью неравенств.

14 задание. Стереометрическая задача повышенного уровня сложности

Если в предыдущем задании экзамена без пункта «а» пункт «б» решить невозможно, то в 14 задании пункты не зависят друг от друга. Если участник экзамена не знает, как доказать пункт «а», то можно решить пункт «б» и получить два балла из трех.

Лайфхак 3

Это задание ЕГЭ можно решать не только классическим способом, но и методом координат. Доказательство пункта «а» координатно-векторным методом путем вычислений часто оказывается более коротким и простым. Главное — выбрать удобную систему координат.

15 задание. Неравенство или система неравенств

Чаще всего это логарифмическое уравнение. Также могут встречаться  рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические неравенства. Особое внимание нужно уделить неравенствам с модулями.

Очень часто выпускники теряются, когда в логарифмических неравенствах появляется большое количество ограничений. В таком случае часто выручает метод рационализации. Он прост в применении, если запомнить несколько деталей при переходе от исходного выражения к выражению после замены. 

Лайфхак 4

Метод рационализации позволяет не рассматривать два случая, когда в логарифмическом неравенстве переменное основание. Часто даже сложные неравенства сводятся к рациональным и решаются методом интервалов.

Лайфхак 5

Если неравенство нестрогое, то в ответ включаются корни числителя и исключаются корни знаменателя. Если неравенство строгое, то исключаются все корни.

16 задание. Задачи прикладного характера

Задачу можно разбить на несколько типов: банковские вклады, банковские кредиты с аннуитетным или дифференцированным платежом и задачи на оптимизацию.

Часто самый сложный шаг в решении задачи — составление математической модели (уравнения или неравенства).

Лайфхак 6

При составлении математической модели удобно использовать таблицу. Есть несколько способов ее оформить. 

Если попалась задача на оптимизацию, то стоит помнить, что большая часть из них решается с помощью исследования функции. Например, максимум или минимум квадратичной функции достигается в вершине параболы. Этот способ помогает решить задачи про заводы, фабрики и так далее.

Другие статьи для подготовки к ОГЭ/ЕГЭ по математике:

17 задание. Планиметрическая задача

В задаче много прототипов и теоретического материала. Часто требуется выполнить дополнительные построения: можно достроить  фигуру или разбить данную фигуру на несколько меньших.

Лайфхак 7

Обычно проводим параллельные прямые (достраиваем до параллелограмма или трапеции), вписанные углы (если работаем с окружностью), соединяем продолжения сторон (чтобы получить подобные треугольники).

В этом задании сложно выделить что-то одно, поэтому при подготовке рекомендуем разбить задание на темы (четырехугольники, окружности и так далее), по каждой теме смотреть прототипы и решать самим, только благодаря большому опыту можно научиться решать данные задачи.

18 задание. Уравнение или система уравнений с параметром

В девятом классе на ОГЭ есть задача на построение и исследование графиков функции, в 11 классе подобной задачи нет, но графический метод часто выручает при решении 18 задачи.

Что нужно помнить: задание можно решить аналитическим или графическим способом. Нужно знать свойства функций (монотонность, четность, периодичность), виды преобразований графиков функций (параллельный перенос, поворот и гомотетия), важно смотреть готовые решения и комбинации способов решения.

Лайфхак 8

Если можно сделать замену или решить графически, то стоит воспользоваться этой возможностью. Даже если найдено одно решение из трех, то номер уже принесет баллы.

Еще интересные статьи по математике:

19 задание. Олимпиадная задача на теорию чисел

При решении пунктов «а» и «б» можно пользоваться методом подбора. Несколько неподходящих примеров не будут являться доказательством, нужно найти противоречие с условием.

Лайфхак 9

Если вопрос в формате «может ли…?», то при положительном ответе необходимо привести пример, при отрицательном ответе доказать. А если вопрос «всегда ли выполнятся…?», то при положительном ответе доказываем, а при отрицательном ответе приводим контрпример.

При записи кратких ответов «да», «нет» без примера или обоснование решение не приносит баллы.  

Желаем вашим ученикам успехов на ЕГЭ по математике!